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surjective ?

(a) gof injective ) f injective (b) gof surjective ) g surjective (c) gof injective et f surjective ) g injective (d) gof surjective et g injective ) f surjective 2.

(c) Donner la d´efinition d’une application injective, respectivement surjective, respectivement bijective.

f (x) = x2 1 Donner deux ensembles I et J tel que f soit injective et non surjective.

f surjective ⇔ A ∩ B = ∅ 7.

On dit que f est surjective ou que c’est une surjection si :

Montrer que si, parmi les trois applications h ◦ g ◦ f , g ◦ f ◦ h et f ◦ h ◦ g, deux sont surjectives et la troisi`eme injective (ou deux sont injectives et la troisi`eme surjective) alors les trois applications f , g, et h sont bijectives.

– f est injective si f (x) = f (x0 ) ⇒ x = x0 – f est surjective si ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X tq f (x) = y – f est bijective si f est injective et surjective.

Supposons que f est surjective.

jective et non surjective.

Application surjective :

surjective? ... surjective? ... est-elle surjective? ... f est-elle surjective? ... surjective? ... surjective?

Montrer que f est surjective. ... g est-elle surjective?

R est bien dé…nie, Im f = f (R) et f est donc surjective.

f (0.25 pt) f est surjective , )~ (3) a) Donner la dé…nition d’une application surjective.

(0.25 pt) g est surjective , Fa c (3) a) Donner la dé…nition d’une application surjective.

Rappeler les dé…nitions d’une application injective et d’une application surjective.

• On dit que f est surjective si :

Surjective? ... Surjective?

Surjective? ... Surjective?

Une application lin´eaire bijective (ie injective et surjective) est appel´ee isomorphisme.

f est-elle surjective ?

f  x   1 4 4-- f est-elle surjective ?

a) Montrer que si f et g sont injectives ( respectivement surjectives ou bijectives) gοf est injective ( respectivement surjective ou bijectives) b) Montrer que si gοf est injective, f l'est aussi.