· C perdió exactamente un partido. Entonces P = 18 2g, como g es cualquier entero entre 0 y
19 entonces P puede tomar cualquier valor par entre 20 y 54 por ser 19 £ P. Veamos que para
cada uno de estos valores existe un torneo en el cual C fue campeón. Enumeremos los equipos
del 1 al 20, con C = 1. Supongamos que el equipo k le ganó al equipo k – 1 para k = 2, 3, …, 20
y que todos los demás partidos jugados por los equipos distintos de C se empataron. Entonces
sin tener en cuenta el partido jugado con 1 tenemos que 2 tiene 17 puntos, 3, 4, …, 19 tienen
19 puntos y 20 tiene 20 puntos. Vamos a suponer que 1 le ganó a 20, entonces 20 también
tiene 20 puntos. Finalmente en cada uno de los partidos jugados entre 1 y los equipos restantes
no puede perder 1, por lo tanto estos equipos no pueden obtener más de 20 puntos.
Como P ³ 20 entonces C es el campeón.
2. Consideremos una permutación cualquiera de los números 1, 2, …, n. Ahora a la fila k del tablero de
nxn le asignamos el número correspondiente de la permutación. Si a la késima fila le corresponde el
número k entonces colocamos en la késima casilla de la fila (la casilla de la diagonal) un 3. En cambio,
si a la késima fila le corresponde el número i ¹ k entonces colocamos en la késima casilla de la fila (la
casilla de la diagonal) un 1 y en la iésima casilla un 2. Fácilmente se verifica que el tablero así
construido satisface las condiciones del problema. El siguiente tablero de 5x5 es un ejemplo que muestra
lo que se obtiene para la permutación (2,4,3,5,1).
Permutación
1
2
0
0
0
2
0
1
0
2
0
4
0
0
3
0
0
3
0
0
0
1
2
5
2
0
0
0
1
1
Notemos que: